Числовые функции и их свойства. Проверка домашнего задания

Обладают многими свойствами:

1. Функция называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает

2. Функция называется возрастающей на некотором промежутке А, если для любых чисел их множества А выполняется условие:.

График возрастающей функции обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика увеличиваются (рис. 4).

3. Функция называется убывающей на некотором промежутке А , если для любых чисел их множества А выполняется условие:.

График убывающей функции обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика уменьшаются (рис. 4).

4. Функция называется четной на некотором множестве Х, если выполняется условие:.

График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 2).

5. Функция называется нечетной на некотором множестве Х, если выполняется условие:.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 2).

6. Если функция у = f(x)
f(x) f(x) ,то говорят, что функция у = f(x) принимает наименьшее значение у = f(x) при х = x (рис. 2, функция принимает наименьшее значение в точке с координатами (0;0)).

7. Если функция у = f(x) определена на множестве Х и существует такое , что для любого справедливо неравенство f(x) f(x) ,то говорят, что функция у = f(x) принимает наибольшее значение у = f(x) при х = x (рис. 4, функция не имеет наибольшего и наименьшего значений).

Если для данной функции у = f(x) изучены все перечисленные свойства, то говорят, что проведено исследование функции.

Контрольно-измерительные материалы. Алгебра и начала анализа: 10 класс / Сост. А.Н. Рурукин. - М.: ВАКО, 2011. - 112 с. - (Контрольно-измерительные материалы).
В пособии представлены контрольно-измерительные материалы (КИМы) по алгебре и началам анализа для 10 класса: тесты в формате заданий ЕГЭ, а также самостоятельные и контрольные работы по всем изучаемым темам. Ко всем заданиям приведены ответы. Предлагаемый материал позволяет проводить проверку знаний, используя различные формы контроля.
Издание ориентировано на учителей, школьников и их родителей.
Содержание
От составителя........................................ 3
Требования к уровню подготовки учащихся.............. 4
Выполнение заданий и их оценивание................... 4
Тест 1. Функция. Область определения и область значений функции............... 6
Тест 2. Основные свойства функции..................... 8
Тест 3. Графики функций..........................................................10
Тест 4. Обобщение темы «Числовые функции и их свойства».....................12
Тест 5. Значения тригонометрических выражений................16
Тест 6. Основное тригонометрическое тождество. Формулы приведения.................18
Тест 7. Функции у = sinx и у = cosx..........................................20
Тест 8. Функции у = tgx и у = ctgx............................................22
Тест 9. Обобщение темы «Тригонометрические функции» ... 24
Тест 10. Арккосинус и арксинус. Решение уравнений cosx = а и sinx = а...........28
Тест 11. Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgx = а и ctgx = а...........30

Тест 12. Простейшие уравнения и неравенства......................32
Тест 13. Обобщение темы «Тригонометрические уравнения».........................34
Тест 14. Функции суммы и разности аргументов..................38
Тест 15. Формулы двойного аргумента....................................40
Тест 16. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения..............42
Тест 17. Преобразование тригонометрических выражений... 44
Тест 18. Тригонометрические уравнения, системы уравнений, неравенства...............46
Тест 19. Обобщение темы «Преобразование тригонометрических выражений»..................48
Тест 20. Предел последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии........52
Тест 21. Предел функции. Определение производной.... 54
Тест 22. Вычисление производных............................................56
Тест 23. Уравнение касательной к графику функции............58
Тест 24. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы....60
Тест 25. Применение производной для нахождения наибольших и наименьших значений величин....62
Тест 26. Обобщение темы «Производная»..............................64
Тест 27. Итоговый по программе 10 класса............................68

Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством Х и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества Х сопоставляется единственное число из множества R. Множество Х называют областью определения функции . Функции обозначают буквами f, g, h и др. Если f – функция, заданная на множестве Х , то действительное число у, соответствующее числу х их множества Х , часто обозначают f(x) и пишут
у = f(x). Переменную х при этом называют аргументом. Множество чисел вида f(x) называют областью значений функции

Функцию задают при помощи формулы. Например, у = 2х – 2. Если при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается, то полагают, что областью определения функции является область определения выражения f(x) .

4. Функция называется четной на некотором множестве Х, если выполняется условие: .

График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 2).

5. Функция называется нечетной на некотором множестве Х, если выполняется условие: .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 2).

6. Если функция у = f(x)
f(x) f(x ) ,то говорят, что функция у = f(x) принимает наименьшее значение у = f(x ) при х = x (рис. 2, функция принимает наименьшее значение в точке с координатами (0;0)).

7. Если функция у = f(x) определена на множестве Х и существует такое , что для любого справедливо неравенствоf(x) f(x ) ,то говорят, что функция у = f(x) принимает наибольшее значение у = f(x ) при х = x (рис. 4, функция не имеет наибольшего и наименьшего значений).

Пределы.

Число А называетс пределом ф-ии при х стремящемся к ∞ если для любого Е>0, существует δ (E)>0 такое что при всех х удовлетворяет неравенство |x|>δ выполняется неравенство |F(x)-A|

Число А называется пределом функции при Х стремящемся к Х 0 если для любого Е>0, существует δ (E)>0 такое что при всех Х≠Х 0 удовлетворяет неравенство |X-X 0 |<δ выполняется неравенство |F(x)-A|

ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ.

При определении предел что Х стремится к Х0 произвольным образом, то есть с любой стороны. Когда Х стремится к Х0, так что он всё время меньше Х0, то тогда предел называется пределом в т. Х0 слева. Или левосторонним пределом. Аналогично определяется и правосторонни предел.

ОБОБЩАЮЩИЙ УРОК ПО ТЕМЕ «ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА».

Цели урока :

Методическая: повышение активно-познавательной деятельности учащихся путем проведения индивидуально-самостоятельной работы и применения тестовых заданий развивающего типа.

Обучающая: повторить элементарные функции, их основные свойства и графики. Ввести понятие взаимно-обратных функций. Систематизировать знания учащихся по теме; способствовать закреплению умений и навыков в вычислении логарифмов, в применении их свойств при решении заданий нестандартного типа; повторить построение графиков функций с помощью преобразований и проверить навыки и умения при самостоятельном решении упражнений.

Воспитательная: воспитание аккуратности, собранности, ответственности, умения принимать самостоятельные решения.

Развивающая: развивать интеллектуальные способности, мыслительные операции, речь, память. Развивать любовь и интерес к математике; в ходе урока обеспечить развитие у учащихся самостоятельности мышления в учебной деятельности.

Тип урока: обобщение и систематизация.

Оборудование: доска, компьютер, проектор, экран, учебная литература.

Эпиграф урока: “Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит”.

(М.В. Ломоносов).

ХОД УРОКА

Проверка домашнего задания.

Повторение показательной и логарифмической функций с основанием а = 2, построение их графиков в одной координатной плоскости, анализ их взаимного расположения. Рассмотреть взаимозависимость между основными свойствами этих функций (ООФ и ОЗФ). Дать понятие взаимно-обратных функций.

Рассмотреть показательную и логарифмическую функции с основанием а = ½ с

целью убедиться в соблюдении взаимозависимости перечисленных свойств и для

убывающих взаимно-обратных функций.

Организация самостоятельной работы тестового типа на развитие мыслительной

операции систематизации по теме «Функции и их свойства».

СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ:

1). у = ‌│х│ ;

2). Возрастает на всей области определения;

3). ООФ: (- ∞; + ∞) ;

4). у = sin x ;

5). Убывает при 0 < а < 1 ;

6). у = х ³ ;

7). ОЗФ: (0; + ∞) ;

8). Функция общего вида;

9). у = √ х;

10). ООФ: (0; + ∞) ;

11). Убывает на всей области определения;

12). у = кх + в;

13). ОЗФ: (- ∞; + ∞) ;

14). Возрастает при к > 0 ;

15). ООФ: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ;

16). у = cos x ;

17). Не имеет точек экстремума;

18). ОЗФ: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ;

19). Убывает при к < 0 ;

20). у = х ² ;

21). ООФ: х ≠ πn ;

22). у = к/х;

23). Четная;

25). Убывает при к > 0 ;

26). ООФ: [ 0; + ∞) ;

27). у = tg x ;

28). Возрастает при к < 0;

29). ОЗФ: [ 0; + ∞) ;

30). Нечетная;

31). у = log x ;

32). ООФ: х ≠ πn/2 ;

33). у = ctg x ;

34). Возрастает при а > 1.

Во время этой работы осуществлять опрос учащихся по индивидуальным заданиям:

№1. а) Построить график функции

б) Построить график функции

№2. а) Вычислить:

б) Вычислить:

№3. а) Упростить выражение
и найти его значение при

б) Упростить выражение
и найти его значение при
.

Домашнее задание: №1. Вычислить: а)
;

в)
;

г)
.

№2. Найти область определения функции: а)
;

в)
; г)
.

Реферат - Проблема зависимости от массовых многопользовательских ролевых онлайн игр (MMORPG) и ее лечения (Реферат)

Панова Т.В., Геринг Г.И. Физика конденсированного состояния вещества (Документ)

Лекции - Теория алгоритмов (Лекция)

Ответы на вопросы к экзамену по матану (Шпаргалка)

Реферат - Функции физической культуры (Реферат)

Джонс М.Х. Электроника - практический курс (Документ)

Ауэрман Т.Л., Генералова Т. Г, Суслянок Г.М. Липиды. Витамины (Документ)

n1.doc

ОГОУ СПО Рязанский педагогический колледж

РЕФЕРАТ

Тема: «Числовые функции и их свойства. Прямая и обратная пропорциональные зависимости»

Титова Елена Владимировна

Специальность: 050709 «Преподавание в начальных классах с дополнительной подготовкой в области предшкольного образования»

Курс: 1 Группа: 2

Отделение: школьное

Руководитель: Приступлюк Ольга Николаевна
Рязань

Введение…………………………………………………………………3
Теоретическая часть

Числовые функции

1.1 Развитие понятия о функциональной зависимости в математике…………………………….……………………………………4

1.2 Способы задания функций……………………………………………….6
1.3 Свойства функции …………………………………………………………7
2. Прямая и обратная пропорциональные зависимости

2.1 Понятие прямой пропорциональной зависимости………………..9
2.2 Свойства прямой пропорциональной зависимости…………………………………………….10
2.3 Понятие обратной пропорциональной зависимости и её свойства………………………………………………………………-
Практическая часть

3.1 Функциональная пропедевтика в начальном курсе математики….11

3.2 Решение задач на пропорционально зависимые величины……18
Заключение……………………………………………………….......21

Список используемой литературы………………………………..22

Введение

В математике идея функции появилась вместе с понятием величины. Она была тесно связано с геометрическими и механическими представлениями. Термин функция (с лат.– исполнение) впервые ввёл Лейбниц в 1694г. Под функцией он понимал абсциссы, ординаты и другие отрезки, связанные с точкой, описывающей некоторую линию.
В первой половине XVIII в. произошёл переход от наглядного представления понятия функции к аналитическому определению. Швейцарский математик Иоганн Бернулли, а, затем, и академик Леонард Эйлер считали, что функция-

Это аналитическое выражение, составленное из переменной величины и постоянной.

Иначе говоря, функция выражается различного вида формулами: y=ax+b , y= =axІ+bx+c и др.
Сегодня мы знаем, что функция может выражаться не только математическим языком, но и графически. Первооткрывателем этого метода был Декарт. Это открытие сыграло огромную роль в дальнейшем развитии математики: осуществился переход от точек к числам, от линий к уравнениям, от геометрии к алгебре. Таким образом, стало возможным находить общие приёмы для решения задач.
С другой стороны, благодаря методу координат стало возможным изображать геометрически различные зависимости.
Таким образом, графики дают наглядное представление о характере зависимости между величинами, они часто применяются в различных областях науки и техники.

Основные тенденции развития современного школьного образования находят свое выражение в идеях гуманизации, гуманитаризации, деятельностного и личностно-ориентированного подхода к организации учебного процесса.

В основе обучения математике в общеобразовательной школе на первый план выходит принцип приоритета развивающей функции обучения.

Следовательно, изучение понятия числовой функции в начальной школе является довольно значимым компонентом в формировании математических представлений школьников. Для учителя начальных классов необходимо сделать акцент на изучение этого понятия, так как существует прямая взаимосвязь функции с многими сферами деятельности человека, что в дальнейшем поможет ребятам войти в мир науки.

Кроме того, учащиеся,как правило, формально усваивают определение понятия функции, не имеют целостного представления о функциональной зависимости, т.е. не могут применить свои знания к решению математических и практических задач; связывают функцию исключительно с аналитическим выражением, в котором переменная у выражается через переменную х ; не могут интерпретировать представления о функции на различных моделях; затрудняются при построении графиков функций по ее свойствам и т.д.

Причины этих трудностей связаны не только и не столько с методикой изучения функционального материала в курсе алгебры, сколько с неподготовленностью мышления учащихся к восприятию и усвоению понятия «функция».
А значит, до введения понятия «функция» необходимо вести работу по формированию навыков функционального мышления, чтобы «в момент, когда общая идея функциональной зависимости должна будет войти в сознание учащихся, это сознание было достаточно подготовлено к предметному и действенному, а не только к формальному восприятию нового понятия и связанных с ним представлений и навыков» (А.Я. Хинчин)

1. Числовые функции

1.1 Развитие понятия о функциональной зависимости в математике

Проанализируем ход развития педагогических идей в области преподавания важнейшей составляющей математики - функциональной зависимости.

Функциональная линия школьного курса математики, является одной из ведущих курса алгебры, алгебры и начал анализа. Основной особенностью учебного материала этой линии является то, что с его помощью можно устанавливать разнообразные связи в обучении математике.

В течение нескольких столетий понятие функции изменялось и совершенствовалось. Необходимость изучения функциональной зависимости в школьном курсе математики была в центре внимания педагогической печати уже со второй половины XIX века. Большое внимание этому вопросу уделили в своих работах такие известные методисты, как М. В. Остроградский, В. Н. Шкларевич, С. И. Шохор-Троцкий, В. Е. Сердобинский, В. П. Шереметевский.
Развитие идеи функциональной зависимости шло в несколько этапов:

Первый этап - этап введения понятия функции (в основном, через аналитическое выражение) в школьный курс математики.

Второй этап введения понятия функции в курс алгебры средней школы характеризуется в основном переходом к графическому изображению функциональной зависимости и расширением круга изучаемых функций.

Третий этап развития русской школы начался в 20-е гг. двадцатого столетия. Анализ методической литературы советского периода показал, что введение понятия функции в школьный курс математики сопровождалось бурными дискуссиями, и позволил нам выделить четыре основных проблемы, вокруг которых существовали расхождения во мнениях методистов, а именно:

1) цель и значение изучения понятия функции учащимися;

2) подходы к определению функции;

3) вопрос функциональной пропедевтики;

4) место и объем функционального материала в курсе школьной математики.

Четвертый этап обусловлен переводом экономики РСФСР на плановую основу

В 1934 г. школа получила первый стабильный учебник А. П. Киселева "Алгебра", переработанный под редакцией А. П. Барсукова в двух частях.

В его вторую часть были включены разделы "Функции и их графики", "Квадратичная функция". Кроме того, в разделе "Обобщение понятия степени" рассматривалась показательная функция, ее график, а в разделе "Логарифмы" - логарифмическая функция и ее график.

Именно в ней функция определялась через понятие переменной величины: "Та переменная величина, числовые значения которой изменяются в зависимости от числовых значений другой, называется зависимой переменной, или функцией другой переменной величины". Однако в нём не отражена идея соответствия и нет упоминания об аналитическом выражении, что позволяет нам сделать вывод о существенном недостатке этого определения.
Большое внимание данной проблеме уделял в своих работах И. Я. Хинчин.

Формирование представления о функции ученый расценивал как проявление формализма в преподавании. Он считал, что в средней школе понятие функции необходимо изучать на основе понятия соответствия.

Данный период характеризуется недостаточностью времени на изучение функций, непродуманностью систем упражнений, непониманием учащимися истинной сущности понятия функции, низким уровнем функциональных и графических навыков выпускников школ.

Таким образом, вновь возникла потребность в реформировании преподавания математики в средней школе. Перестройка всей школьной математики на основе теоретико-множественного подхода ознаменовала пятый этап развития идеи функциональной зависимости. Идея, теоретико-множественного подхода была предпринята группой французских ученых, объединившихся под псевдонимом Николя Бурбаки. В г. Роймоне (Франция, 1959 г.) состоялось международное совещание, на котором было провозглашено свержение всех обычных курсов. В центре внимания оказались структуры и объединения всей школьной математики на базе теории множеств.

Важную роль в развитии идей реформы сыграли статьи В. Л. Гончарова, в которых автор указывал на важность ранней и длительной функциональной пропедевтики, предлагал использовать упражнения, заключающиеся в выполнении ряда заранее указанных числовых подстановок в одном и том же заданном буквенном выражении.

Стабилизация программ и учебников создала почву для возникновения положительных сдвигов в качестве функциональных знаний учащихся. В конце шестидесятых - начале семидесятых, наряду с отрицательными отзывами, в печати стали появляться и такие, в которых отмечалось определенное улучшение знаний выпускников школ о функциях и графиках. Однако общий уровень математического развития учащихся в целом оставался недостаточным. В школьном курсе математики по-прежнему неоправданно много времени отводилось формальной подготовке и не уделялось должного внимания развитию способности учащихся самостоятельно учиться.

1.2 Способы задания функций

Современно понятие о функции существенно отличается от предыдущих. Оно более полно отражает все свойства и зависимости, которыми она обладает.

Итак, числовая функция – это соответствие между числовым множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества X соответствует единственное число из множества R.

Соответственно, X представляет область определения функции(ООФ).

Сама функция обозначается строчными буквами латинского алфавита (f, d, e, k).

Если функция f задана на множестве X, то действительное число y, соответствующее числу x из множества X, обозначают как f(x) (y=f(x)).

Переменная x при этом называется аргументом. Множество чисел вида f(x) для всех x при этом называют областью значений функции f .

Чаще всего функции задаются различными видами формул: y=2x+3, y=xІ, y=3xі, y=?3xІ, где x- действительное число, y- соответствующее ему единственное число.

Тем не менее, с помощью одной формулы можно задать множество функций, различие которых определяется лишь областью определения:

Y= 2x-3, где x принадлежит множеству действительных чисел, а y=2x-3,

X- принадлежащий множеству натуральных чисел.

Зачастую, при задании функции с помощью формулы ООФ не указывается (ООФ является областью определения выражения f(x)).

Также числовые функции достаточно удобно представлять наглядно т.е. с помощью координатной плоскости.
1.3 Свойства функции.

Как и многие другие, числовые функции обладают свойствами:

Возрастание, убывание, монотонность, область определения и область значения функции, ограниченность и неограниченность, чётность и нечётность, периодичность.

Область определения и область значений функции .

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R. Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т. e. она также принимает только действительные значения. Множество X всех допустимых действительных значений аргумента x, при которых функция y = f(x) определена, называется областью определения функции. Множество Y всех действительных значений y, которые принимает функция, называется областью значений функции. Теперь можно дать более точное определение функции: правило (закон) соответствия между множествами X и Y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией.

Функция считается заданной, если: задана область определения функции X ; задана область значений функции Y ; известно правило (закон) соответствия, причем такое, что для каждого значения аргумента может быть найдено только одно значение функции. Это требование однозначности функции является обязательным.
Ограниченная и неограниченная функции. Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что | f (x) | M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

Чётная и нечётная функции. Если для любого x из области определения функции имеет место: f (- x) = f (x), то функция называется чётной; если же имеет место: f (- x) = - f (x), то функция называется нечётной. График чётной функции симметричен относительно оси Y (рис.5), a график нечётной функции симметричен относительно начала координат (рис.6).

Периодическая функция. Функция f (x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T , что для любого x из области определения функции имеет место: f (x + T) = f (x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.

Но наиболее важным свойством для изучения функции в начальных классах является монотонность .

Монотонная функция . Если для любых двух значений аргумента x1 и x2 из условия x2 > x1 следует f (x2) > f (x1), то функция | f (x) | называется возрастающей; если для любых x1 и x2 из условия x2 > x1 следует f (x2)
2. Прямая и обратная пропорциональные зависимости.
2.1 Понятие прямой пропорциональной зависимости.

В начальной школе функция проявляется в виде прямой и обратной пропорциональных зависимостей.

Прямая пропорциональность – это, прежде всего, функция, которая может быть задана при помощи формулы y=kx, где k - не равное нулю действительное число. Название функции y = kx связано с переменными x и y,содержащимися в этой формуле. Если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то их называют прямо пропорциональными.

K- коэффициент пропорциональности.

Вообще функция y=kx является математической моделью многих реальных ситуаций, рассматриваемых в начальном курсе математики.

Например, допустим, что в одном пакете муки 2 кг, а таких пакетов куплено x, то вся масса купленной муки –y. Это можно записать в виде формулы так: y=2x, где 2=k.
2.2 Свойства прямой пропорциональной зависимости.

Прямая пропорциональность имеет ряд свойств:

Областью определения функции y=kx является множество действительных чисел R;
График прямой пропорциональности – прямая, проходящая через начало координат;
При k>0 функция y=kx возрастает на всей области определения (при k
Если функция f – прямая пропорциональность, то (x1,y1),(x2,y2) – пары соответственных переменных x и y, где x не равен нулю, значит x1/x2=y1/y2.

Если значениями переменных x и y

x в несколько раз соответствующее ему положительное значение у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

2.3 Понятие обратной пропорциональной зависимости.
Обратная пропорциональность – это функция, которая может быть задана при помощи формулы y=k/x, где k - не равное нулю действительное число. Название функции y = k/x связано с переменными x и y, произведение которых равно некоторому действительному числу, не равному нулю.

Свойства обратной пропорциональной зависимости:

Областью определения и областью значений функции y=k/x является множество действительных чисел R;
График прямой пропорциональности – гипербола;
При k 0, соответственно, убывает на всей области определения, ветви - вниз)
Если функция f – обратная пропорциональность, то (x1,y1),(x2,y2) – пары соответственных переменных x и y, где x не равен нулю, значит x1/x2=y2/y1.

Если значениями переменных x и y будут положительные действительные числа, то

с увеличением (уменьшением) переменной x в несколько раз соответствующее значение у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Практическая часть
3.1 Функциональная пропедевтика в начальном курсе математики

Понятие функциональной зависимости является одним из ведущих в математической науке, поэтому сформированность этого понятия у учащихся представляет важную задачу в целенаправленной деятельности учителя по развитию математического мышления и творческой активности детей. Развитие функционального мышления предполагает прежде всего развитие способности к обнаружению новых связей, овладению общими учебными приемами и умениями.

В начальном курсе математики значительная роль должна отводиться функциональной пропедевтике, которая предусматривает подготовку учащихся к изучению систематических курсов алгебры и геометрии, а также воспитывает у них диалектический характер мышления, понимание причинных связей между явлениями окружающей действительности. В этой связи обозначим основные направления пропедевтической работы на начальной ступени обучения предмету по программе Л.Г. Петерсон:

Понятие о множествах, о соответствии элементов двух множеств и функциях. Зависимость результатов арифметических действий от изменения компонентов.

Табличный, словесный, аналитический, графический способы задания функции.

Линейная зависимость.

Система координат, первая и вторая координата, упорядоченная пара.

Решение простейших комбинаторных задач: составление и подсчет числа возможных перестановок, подмножеств элементов конечного множества..

Использование систематического перебора натуральных значений одной и двух переменных при решении сюжетных задач.

Заполнение таблиц с арифметическими вычислениями, данными из условий прикладных задач. Выбор данных из таблицы по условию.

Зависимость между пропорциональными величинами; прикладное исследование их графиков.

Содержание начального курса математики позволяет сформировать у учащихся представление об одной из важнейших идей математики - идее соответствия .При выполнении заданий на нахождение значений выражений, заполнение таблиц ученики устанавливают, что каждой паре чисел соответствует не более одного числа, полученного в результате. Однако для осознания этого содержание таблиц необходимо анализировать.

Составь все возможные примеры на сложение двух однозначных чисел с ответом 12.

При выполнении этого задания учащиеся устанавливают взаимосвязь между двумя множествами значений слагаемых. Установленное соответствие - функция, так как каждому значению первого слагаемого соответствует единственное значение второго слагаемого при постоянной сумме.

В вазе 10 яблок. Сколько яблок останется, если возьмут 2 яблока? 3 яблока? 5 яблок? Запиши решение в таблице. От чего зависит результат? На сколько единиц он изменяется? Почему?

В данной задаче фактически представлена функция у = 10 - х , где переменная х принимает значения 2, 3, 5. В результате выполнения данного задания учащиеся должны сделать вывод: чем больше вычитаемое, тем меньше значение разности.

Идея функционального соответствия присутствует и в упражнениях вида:

Соедини стрелкой математические выражения и соответствующие численные значения:

15 + 6 27 35

Введение буквенной символики позволяет познакомить учащихся с важнейшими понятиями современной математики - переменная, уравнение, неравенство, что способствует развитию функционального мышления, поскольку с ними тесно связана идея функциональной зависимости. При работе с переменной школьники осознают, что буквы, входящие в выражение, могут принимать различные числовые значения, а само буквенное выражение является обобщенной записью числовых выражений.

Огромное пропедевтическое значение имеет опыт общения учащихся с упражнениями на установление закономерностей в числовых последовательностях и их продолжение:

1, 2, 3, 4… (у = х + 1)

1, 3, 5, 7… (у = 2 · х + 1)

Понятие величины , наряду с понятием числа, является основным понятием начального курса математики. Материал данного раздела является богатейшим источником для осуществления опосредованной функциональной пропедевтики. Во-первых, это зависимость (обратнопропорциональная) между выбранной единицей величины (меркой) и ее численным значением (мерой) - чем больше мерка, тем число, полученное в результате измерения величины данной меркой, меньше. Поэтому важно, чтобы при работе с каждой величиной учащиеся приобретали опыт измерения величин разными мерками с целью осознанного выбора сначала удобной, а затем и единой мерки.

Во-вторых, при изучении величин, характеризующих процессы движения, работы, купли-продажи формируются представления о зависимости между скоростью, временем и расстоянием, ценой, количеством и стоимостью в процессе решения текстовых задач следующих видов - на приведение к единице (нахождение четвертого пропорционального), нахождение неизвестного по двум разностям, пропорциональное деление.

Особую сложность для учащихся представляет осознание взаимосвязи между этими величинами, поскольку понятие «пропорциональная зависимость» не является предметом специального изучения и усвоения. В программе Л.Г. Петерсон методически эта проблема решается за счет использования следующих приемов:

- Решение задач с недостающими данными («открытым» условием):

Васе от дома до школы 540 м, а Паше - 480 м. Кто ближе живет? Кто быстрее дойдет?

Саша купил на 30 рублей тетради и на 45 рублей карандаши. На покупку каких предметов он истратил денег больше? Каких предметов он купил больше?

Анализируя тексты этих задач, учащиеся обнаруживают, что в них не хватает данных и что ответы на вопросы зависят от цены и скорости.

- Фиксация условия задач не только в таблице (как это предложено в классической методике), но и в виде схемы . Это позволяет «визуализировать» зависимости, рассматриваемые в задаче. Так, если одно и тоже расстояние в 12 км движущиеся объекты проходят за разное время (2 ч, 3 ч, 4 ч, 6 ч), то с помощью схемы наглядно интерпретируется обратная зависимость - чем больше частей (время), тем меньше каждая часть (скорость).

- Изменение одного из данных задачи и сравнение результатов решения задач.

В школьную столовую привезли 48 кг яблок. Сколько ящиков могли привезти, если во всех ящиках яблок было поровну?

Учащиеся дополняют условие задачи и фиксируют зависимость между величинами с помощью различных средств структурирования теоретических знаний - в таблице, схеме и словесно.

Здесь же полезно обратить внимание на кратное отношение рассматриваемых величин - во сколько раз больше одна из величин, во столько же раз больше (меньше) другая при постоянной третьей.

В начальной школе учащиеся в неявном виде знакомятся с табличным, аналитическим, словесным, графическим способами задания функций.

Так, например, зависимость между скоростью, временем и расстоянием можно выразить:

А) словесно: «чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время»;

Б) аналитически: s = v ·t ;

В) таблично: v =5 км/ч

г) графически (с помощью координатного луча или угла).

Графический способ задания зависимости между v , t , s позволяет сформировать представление о скорости как изменении местоположения движущегося объекта в единицу времени (наряду с общепринятым - как расстояния, пройденного в единицу времени) А сравнение графиков движения двух тел (движущихся независимо друг от друга) уточняет представление о скорости как величине, характеризующей быстроту движения.

Составные числовые выражения (со скобками и без них), вычисление их значений по правилам порядка выполнения действий позволяет учащимся осознать, что от порядка выполнения действий зависит результат.

Расставьте скобки так, чтобы получились верные равенства.

20 + 30: 5=10, 20 + 30: 5 = 26

В курсе Л.Г. Петерсон учащиеся в неявном виде знакомятся с линейной зависимостью, как частным случаем функции. Эту функцию можно задать формулой вида у = kх + b, где х - независимая переменная, k и b - числа. Ее областью определения является множество всех действительных чисел.

Пройдя 350 километров, поезд стал идти в течение t часов со скоростью 60 км/ч. Сколько всего километров прошел поезд? (350 + 60 · t )

Выполняя задания с именованными числами, учащиеся осознают зависимость численного значения величин от использования различных единиц измерения.

Один и тот же отрезок измерили сначала в сантиметрах, затем в дециметрах. В первом случае получили число на 135 больше, чем во втором. Какова длина отрезка в сантиметрах? (Зависимость у = 10 · х)

В процессе изучения начального курса математики у учащихся формируется понятие натурального ряда чисел, отрезка натурального ряда, усваиваются свойства натурального ряда чисел - бесконечность, упорядоченность и др., формируется представление о возможности неограниченного увеличения натурального числа или уменьшение его доли.

В курсе математики 3-4 классов значительное внимание уделено обучению учащихся использованию формул , их самостоятельному выводу. Здесь важно научить учащихся представлять одну и ту же информацию в различной форме - графически и аналитически, предоставив школьникам право выбора формы в соответствии с их познавательными стилями.

Значительный интерес у учащихся вызывают задания, связанные с анализом таблиц значений переменных, «открытие» зависимостей между ними и запись в виде формулы.

При анализе чисел, представленных в таблице, учащиеся легко подмечают, что числа первой строки увеличиваются на один, числа второй строки увеличиваются на четыре. Задача учителя - обратить внимание на взаимосвязь значений переменных а и b . В целях усиления прикладной направленности математического образования следует «оживить» данную ситуацию, перевести ее в сюжетный статус.

Чтобы сформировать у учащихся способность к выводу формул, нужно научить их записывать различные утверждения на математическом языке (в виде равенств):

Ручка в три раза дороже карандаша (р = к + 3);

Число а при делении на 5 дает в остатке 2 (а = 5 · b + 2);

Длина прямоугольника на 12 см больше ширины (а = b + 12).

Обязательным условием является обсуждение возможных вариантов значений данных величин с заполнением соответствующих таблиц.

Особое место в курсе Л.Г. Петерсон занимают задания, связанные с математическими исследованиями :

Представь число 16 в виде произведения двух множителей разными способами. Для каждого способа найди сумму множителей. В каком случае получилась меньшая сумма? Проделай это же с числами 36 и 48. Каково предположение?

При выполнении подобных заданий (на исследование зависимости между количеством углов многоугольника и суммарным значением градусных мер углов, между значением периметра различных по форме фигур с одинаковой площадью и пр.) учащиеся совершенствуют навыки работы с таблицей, так как решение удобно фиксировать в таблице. Кроме этого, табличный способ фиксации решения используется при решении нестандартных математических задач методом упорядоченного перебора или рационального подбора.

В классе 13 детей. У мальчиков столько зубов, сколько у девочек пальцев на руках и ногах. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек? (У каждого мальчика ровно 32 зуба).

Обучение математике по программе Л.Г. Петерсон обеспечивает усвоение учащимися взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий, формируется представление о «скорости» изменения результата арифметических действий в зависимости от изменения компонентов :

Упражнения на состав числа;

Частные приемы вычислений (36 + 19 = 35 + 20; 36 - 19 = 37 - 20; 12 · 5 = 12 · 10: 2);

Оценка суммы, разности, произведения, частного.

При выполнении подобных заданий важно представлять информацию многосенсорно.

Как изменится сумма, если одно слагаемое увеличить на 10, а второе уменьшить на 5?

Как изменится площадь прямоугольника (или произведение двух чисел), если одну из сторон (одно из чисел) увеличить на 3?

Значительная часть учащихся выполняет подобные задания методом подстановки конкретных числовых значений. Методически грамотным в данной ситуации будет графически и аналитически интерпретировать условие.

(а + 3) · b = а · b + 3 · b

Понятие функции в старших классах связано с системой координат . В курсе Л.Г. Петерсон содержится материал для пропедевтической работы в этом направлении:

Числовой отрезок, числовой луч, координатный луч;

Таблица Пифагора, координаты на плоскости (координатный угол);

Графики движения;

Круговые, столбчатые и линейные диаграммы, наглядно представляющие зависимость между дискретными величинами.

Итак, изучение арифметических операций, увеличения и уменьшения числа на несколько единиц или в несколько раз, зависимости между компонентами и результатами арифметических действий, решение задач на нахождение четвертого пропорционального, на связь между скоростью, временем и расстоянием; ценой, количеством и стоимостью; массой отдельного предмета, их количеством и общей массой; производительностью труда, временем и работой; и т. д., с одной стороны, лежат в основе формирования понятия функции, а с другой - изучаются на основе функциональных понятий. Следует отметить, что достаточно большое пропедевтическое значение имеет графическое моделирование: графическая интерпретация условия задачи, рисунок, чертеж и другое. Информация, представленная в графической форме, легче для восприятия, емкая и достаточно условная, призвана нести информацию лишь о существенных признаках объекта, формировать графические навыки учащихся.

Кроме этого, результатом пропедевтики функциональной зависимости должна стать высокая умственная активность младших школьников, развитие интеллектуальных, общепредметных и специфических математических умений и навыков. Все это создает прочную основу не только для решения методических проблем начальной математики - формирование вычислительных навыков, умения решать текстовые задачи и др., но и для реализации развивающих возможностей математического содержания и, что не менее важно, для успешного изучения функций в средней школе.

3.2 Решение задач на пропорционально зависимые величины

Решить задачу – это значит через логически верную последовательность действий

и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами,

отношениями выполнить требование задачи (ответить на ее вопрос).

В качестве основных в математике различают арифметические и

алгебраические способы решения задач. При арифметическом способе

ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических

действий над числами.

Различные арифметические способы решения одной и той же задачи отличаются

отношения между данными, данными и неизвестными, данными и искомым,

положенными в основу выбора арифметических действий, или последовательностью

использования этих отношений при выборе действий.

Решение текстовой задачи арифметическим способом – это сложная деятельность,

решающего. Тем не менее, в ней можно выделить несколько этапов:

1. Восприятие и анализ содержания задачи.

2. Поиск и составление плана решения задачи.

3. Выполнение плана решения. Формулировка вывода о выполнении требования

задачи (ответа на вопрос задачи).

4. Проверка решения и устранение ошибок, если они есть.

Задачи на пропорциональное деление вводятся по-разному: можно предложить

для решения готовую задачу, а можно сначала составить ее, преобразовав задачу

на нахождение четвертого пропорционального. В том и другом случае успех решения

задач на пропорциональное деление будет определяться твердым умением решать

задачи на нахождение четвертого пропорционального, поэтому в качестве

подготовки надо предусмотреть решение задач соответствующего вида на нахождение

четвертого пропорционального. Именно поэтому предпочтительней второй из

названных вариантов введения задач на пропорциональное деление.

Переходя к решению готовых задач из учебника, а также задач, составленных

учителем, включающих различные группы величин, сначала надо установить, о каких

величинах идет речь в задаче, затем записать задачу кратко в таблице,

предварительно расчленив вопрос задачи на два вопроса, если в нем есть слово

каждый . Решение, как правило, ученики выполняют самостоятельно, разбор

ведется только с отдельными учениками. Вместо краткой записи можно сделать

рисунок. Например, если в задаче говорится о кусках материи, мотках проволоки и

т.п., то их можно изобразить отрезками, записав соответствующие числовые

значения данных величин. Заметим, что не следует каждый раз выполнять краткую

запись или рисунок, если ученик, прочитав задачу, знает, как ее решить, то

пусть решает, а краткой записью или рисунком воспользуются те, кто затрудняется

решить задачу. Постепенно задачи должны усложняться путем введения

дополнительных данных (например: “В первом куске было 16 м материи, а во втором

в 2 раза меньше.”) или постановкой вопроса (например: “На сколько метров

материи было больше в первом куске, чем во втором?).

При ознакомлении с решением задачи на непропорциональное деление можно иди

другим путем: сначала решить готовые задачи, а позднее выполнить

преобразование задачи на нахождение четвертого пропорционального в задачу на

пропорциональное деление и после их решения сравнить как сами задачи, так и

их решения.

Обобщению умения решать задачи рассмотренного вида помогают упражнения

творческого характера. Назовем некоторые из них.

До решения полезно спросить, на какой из вопросов задачи получится в ответе

большее число и почему, а после решения проверить, соответствую ли этому виду

полученные числа, что явится одним из способов проверки решения. Можно далее

выяснить, могли ли получиться в ответе одинаковые числа и при каких условиях.

Полезны упражнения на составление задач учащимися с последующим решением их,

а также упражнения по преобразованию задач. Это, прежде всего, составление

задач, аналогичных решенной. Так, после решения задачи с величинами: ценой,

количеством и стоимостью – предложить составить и решить похожую задачу с

теми же величинами или с другими, например скоростью, временем и расстоянием.

Это составление задач по их решению, записанному как в виде отдельных

действий, так и в виде выражения, это составление и решение задач по их

краткой схематической записи

1 способ :

Х = 15*30 / 8 = 56 рублей 25 копеек

2 способ : количество сукна увеличилось в 15/8 раза, значит и денег заплатят в 15/8 раза больше

Х =30*15/8 = 56рублей 25копеек

2. Некий господин позвал плотника и велел двор построить. Дал ему 20 человек работников и спросил, во сколько дней построят они ему двор. Плотник ответил: в 30 дней. А господину надобно в 5 дней построить, и ради того спросил он плотника: сколько человек тебе надо иметь, дабы с ними ты построил двор в 5 дней; и плотник, недоумевая, спрашивает тебя, арифметик: сколько человек ему надо нанять, чтобы построить двор в 5 дней?

На доске записано незаконченное краткое условие:

I вариант: пропорцией

II вариант: без пропорций

II. Х = 20*6 = 120 работников

3. Взяли 560 человек солдат корма на 7 месяцев, а приказано им на службе быть 10 месяцев, и захотели людей от себя убавить, чтобы корма хватило на 10 месяцев. Спрашивается, сколько человек надо убавить?

Старинная задача.

Решить эту задачу без пропорции:

(Количество месяцев увеличивается в раз, значит количество солдат уменьшается в раз.

560 – 392 = 168 (солдат надо убавить)

В давние времена для решения многих типов задач существовали специальные правила их решения. Знакомые нам задачи на прямую и обратную пропорциональность, в которых по трём значениям двух величин нужно найти четвёртое, назывались задачами на «тройное правило».

Если же для трёх величин, были даны пять значений, и требовалось найти шестое, то правило называлось «пятерным». Аналогично для четырёх величин существовало «семеричное правило». Задачи на применение этих правил назывались ещё задачами на «сложное тройное правило».

4. Три курицы за 3 дня снесли 3 яйца. Сколько яиц снесут 12 куриц за 12 дней?

Куриц	дней	яиц
3	3	3
12	12	х

Нужно выяснить:

Во сколько раз увеличилось число кур? (в 4 раза)

Как при этом изменилось число яиц, если число дней не изменилось? (увеличилось в 4 раза)

Во сколько раз увеличилось число дней? (в 4 раза)

Как при этом изменилось число яиц? (увеличилось в 4 раза)

Х = 3*4*4 =48(яиц)

5 . Если писец может за 8 дней написать 15 листов, сколько понадобиться писцов, чтобы написать 405 листов за 9 дней?

(количество писцов увеличивается от увеличения листов в раз и уменьшается

От увеличения дней работы (писцов)).

Рассмотрим более сложную задачу с четырьмя величинами.

6. Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120т фунтов керосина, причём в каждой комнате горело по 4 лампы. Hа сколько дней достанет 125 фунтов керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?

Количество дней пользования керосином увеличивается от увеличения количества керосина в
раз и от уменьшения ламп в раза.

Количество дней пользования керосином уменьшается от увеличения комнат в 20 раза.

Х = 48 * * : = 60 (дней)

Окончательно имеет Х = 60. Это означает, что 125 фунтов керосина хватает на 60 дней.

Заключение

Методическая система изучения функциональной зависимости в начальной школе, разработанная в контексте модульного обучения, представляет собой целостность, составляемую взаимосвязью основных компонентов (целевого, содержательного, организационного, технологического, диагностического) и принципов (модульности, осознанной перспективы, открытости, направленности обучения на развитие личности ученика, разносторонности методического консультирования).

Модульный подход является средством совершенствования процесса изучения функциональной зависимости у учащихся начальной школы, которое позволяет: учащимся - овладевать системой функциональных знаний и способов действий, практических (операционных) умений; учителю - развивать их математическое мышление на основе функционального материала, воспитывать самостоятельность в обучении.

Методическое обеспечение процесса изучения функций в начальной школе строится на основе модульных программ, являющихся основой для выделения фундаментальных закономерностей, обязательных для понимания темы, успешного и полного усвоения содержания учебного материала, приобретения учащимися прочных знаний, умений и навыков.

Список используемой литературы.

Демидова Т. Е., Тонких А. П., Теория и практика решения текстовых задач: Учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Академия», 2002. -288 с.
Фридман Л. М. Математика: Учебное пособие для учителей и студентов педвузов и колледжей. – М.: Школьная пресса,2002.- 208с.
Стойлова Л. П., Пышкало А. М. Основы начального курса математики: Учеб. пособие для учащихся пед. уч – щ по спец. «Преподавание в нач классах общеобразоват. Шк.» - М.: Просвещение,1998. – 320с.
Стойлова Л. П. Математика: Учебник для студ. высш. Пед. учеб. заведений. – М.: Издательский центр «Акакдемия», 1999. – 424с.
Пехлецкий И. Д. Математика: Учебник. – 2-е издание стереотипное – М.: Издательский центр «Академия»; Мастерство,2002. – 304 с.
Крючкова В. В. Работа над задачами с пропорциональными величинами в развивающем режиме: Методическое пособие для учителей нач. классов: Часть2/ Рязанский областной институт развития образования. Рязань,1996. – 75с.
Падун Т. А. Нестандартные задания в курсе начальной математики: Методич. Рекоменд. В помощь учителям начальных классов/ Ряз. Обл. ин – т развития образования. – Рязань,2003 г. – 85с.
Глейзер Г. И. История математики в школе: IX – X кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983. – 351с., ил.
Дорофеев Г. В. Гуманитарно-ориентированный курс - основа учебного предмета «Математика» в общеобразовательной школе // Математика в школе. – 1997. - №4. - С.59-66, с. 59.
Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах. / Под ред. М.И. Моро, А.М. Пышкало. - М.: Педагогика, 1977. - 262 с.
Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. - М.: Педагогика, 1984. - 301 с.
Давыдов В.В. Математика, 3 класс: Учебник для 4-летней начальной школы. - М.: Издательский центр «Академия», 1998. - 212 с.
Моро М.И. и др. Математика: Учебник для 3 класса трехлетней начальной школы и 4 класса четырехлетней начальной школы. / Под ред. Калягина Ю.М. - М.: Просвещение, 1997. - 240 с.
Петерсон Л.Г. Математика, 3 класс. Ч. 1, 2. Учебник для 4-летней начальной школы. - М.: «Баласс», 2001.