Работа силы тяжести. Консервативные силы. Формула работы Определение работы силы тяжести в векторной форме

Вычислим работу силы тяжести mg , совершаемую при перемещении материальной точки (тела) массой m из положения 1 в положение 2. Используя формулу (4.2) получим,

Из чертежа видно, что dScos=dh; тогда выражение для А 12 можно преобразовать так:

Полученное выражение для А 12 показывает, что независимо от вида траектории работа по перемещению материальной точки (тела) в поле тяжести зависит только от ее начальной и конечной высоты:

4.1.2. Работа силы всемирного тяготения

Вычислим работу, совершаемую силой всемирного тяготения со стороны тела массой М при перемещении тела массой m из положения, характеризуемого радиус-вектором r 1 в положение с радиус-вектором r 2 (см. рис. 4.5).

Гравитационное поле является центральным, поскольку сила тяготения действует вдоль линии соединяющей материальную точку m (или центр масс этого тела) с центром О поля тяготения. По определению работы (4.2) имеем:

,

где сила F определяется законом (2.12).

Из рисунка видно, что dScos=dr, поэтому dA=F(r)dr, и для А 12 имеем:

Полученное выражение не содержит сведений о траектории движения тела, и можно утверждать, что работа центральной силы зависит только от начального и конечного расстояния r 1 иr 2 движущейся точки до силового центра.

4.1.3. Работа силы упругости

Вывод формулы для работы силы упругости проводится аналогично выводу для силы всемирного тяготения. Эта работа равна

Здесь r 1 и r 2 – величина абсолютной деформации тела в начальном и конечном состояниях. Эти деформации представляют собой координаты точки приложения внешней (деформирующей) силы при условии, что начало координат соответствует недеформированному состоянию тела. Как в ранее рассмотренных случаях, работа силы оказывается независимой от формы траектории точки приложения силы, и определяется только ее начальным и конечным положениями.

Глава 5. Энергия

Энергия – это способность тела (системы) совершать работу.

Энергия служит универсальной количественной мерой движения и взаимодействия всех видов материи. Различают два вида механической энергии: потенциальную и кинетическую.

5.1. Потенциальная энергия

Пусть на материальную точку или механическую систему действуют только консервативные и гироскопические силы, не зависящие от времени. Говоря иначе, материальная точка находится в стационарном поле сил. Примем условно за нулевое какое-либо состояние системы. Рассматривая иные состояния, назовем потенциальной энергией системы в некотором ином состоянии величину U, равную работе консервативных сил, совершаемой при переводе системы из этого состояния в нулевое.

Потенциальной энергией системы в некотором состоянии называют скалярную величину U, равную работе консервативных сил совершаемой при переводе системы из этого состояния в состояние, условно принятое за нулевое.

Поскольку работа консервативных сил не зависит от траектории движения материальной точки, то ее потенциальная энергия зависит только от начального состояния системы. Это означает, что потенциальная энергия системы определяется ее состоянием. Возможность произвольно выбрать нулевое состояние (нулевого уровня потенциальной энергии) означает, что потенциальная энергия системы определяется не однозначно, а с точностью до произвольной постоянной С, зависящей от сделанного выбора. Действительно, если за нулевое состояние условно принять состояние, изображаемое точкой О (см. рис.5.1), то потенциальная энергия U М системы, находящейся в состоянии, изображаемом точкой M, равна работе А МО, совершенной силами поля при переходе из состояния М в состояние О.

Если принять за начальное точку О I , то потенциальная энергия точки М будет равна работе
по перемещению из М в О I . Вследствие консервативности сил поля работа по траектории МО равна работе по траектории МО I О:

А МО =
+
.

Заметим, что работа
вполне определенная величина, зависящая только от выбора точек О и О I . Таким образом, при изменении положения начальной точки О потенциальная энергия изменяется на постоянную величину:

.

Из сказанного выше следует, что потенциальная энергия в положении О равна нулю. Однако ее можно считать равной не нулю, а некоторому произвольному значению. Тогда, при переходе системы из состояния М в нулевое, необходимо говорить не о потенциальной энергии состояния М, а о разности потенциальных энергий в состоянии М и О. Произвол в выборе постоянной C не влияет ни на теоретические выводы, ни, тем более, на ход физических процессов. Существенной оказывается не абсолютная величина потенциальной энергии U, а ее изменение –
, которое не содержит произвольной постоянной С.

Пусть система перешла из состояния M в состояние N. Работу A MN , совершенную при этом консервативными силами, можно выразить через потенциальные энергии состояний M и N.

Пусть (см. рис. 5.2) этот переход осуществлен через точку О, по траектории MON. Тогда A MN =A MON =A MO +A ON . По определению потенциальной энергии можно записать: U M =A MO +C, U N = A NO +C, где С – одна и та же постоянная. Имеем:

Разность потенциальных энергии начального и конечного состояний U M -U N представляет собой ее убыль (убыль равна приращению, взятому с противоположным знаком). Полученное соотношение играет важную роль: оно позволяет утверждать, что:

работа консервативных сил, действующих на тела механической системы равна убыли потенциальной энергии системы:

Конкретный вид функции U, определяющей величину потенциальной энергии зависит от характера действующих сил, или от природы силового поля. В разделах 4.1.1 – 4.1.3 получены выражения для работы консервативных сил различной природы. Сравнивая соотношения (4.11), (4.12) и (4.13) с соотношением (5.1) легко придти к выводу, что потенциальная энергия:

в поле силы тяжести определяется соотношением

в поле силы упругости определяется соотношением

.

Определение потенциальной энергии в поле силы всемирного тяготения имеет особенность. Соотношение (4.12) получено непосредственным вычислением работы силы всемирного тяготения:

Как правило, тела считают равной нулю. Это оправдано тем, что на бесконечно большом расстоянии (r 2 =) сила тяготения обращается в ноль и энергия взаимодействия отсутствует, т. е. U  =0. Из формулы (4.17) следует, что А 1  =-U=U  -U 1 .

Итак, имеем для потенциальной энергии в поле тяготения соотношение

Замечания

1. При выводе соотношения (4.12) не учитывалось возможное движение центра притяжения. Можно показать, что полученное соотношение остается справедливым и при учете движения тяготеющего центра. Величина работы зависит только от относительного перемещения тяготеющих тел и не зависит от абсолютных перемещений каждого из них.

2. Потенциальная энергия системы в наиболее общем случае представляет собой сумму

,

где
– внешняя потенциальная энергия системы, связанная с действием на неё внешних консервативных сил. Эта составляющая потенциальной энергии всегда аддитивна. Внутренняя потенциальная энергия системы
, обусловленная действием внутренних консервативных сил, должна учитывать взаимодействие всех частей системы, и, в общем случае, не является аддитивной величиной. Условие аддитивности полной потенциальной энергии выполнимо только в случае слабого взаимодействия частей системы, когда им можно пренебречь.

С механической работой (работой силы) вы уже знакомы из курса физики основной школы. Напомним приведенное там определение механической работы для следующих случаев.

Если сила направлена так же, как перемещение тела, то работа силы

В этом случае работа силы положительна.

Если сила направлена противоположно перемещению тела, то работа силы

В этом случае работа силы отрицательна.

Если сила f_vec направлена перпендикулярно перемещению s_vec тела, то работа силы равна нулю:

Работа – скалярная величина. Единицу работы называют джоуль (обозначают: Дж) в честь английского ученого Джеймса Джоуля, сыгравшего важную роль в открытии закона сохранения энергии. Из формулы (1) следует:

1 Дж = 1 Н * м.

1. Брусок массой 0,5 кг переместили по столу на 2 м, прикладывая к нему силу упругости, равную 4 Н (рис. 28.1). Коэффициент трения между бруском и столом равен 0,2. Чему равна работа действующей на брусок:
а) силы тяжести m?
б) силы нормальной реакции ?
в) силы упругости ?
г) силы трения скольжения тр?

Суммарную работу нескольких сил, действующих на тело, можно найти двумя способами:
1. Найти работу каждой силы и сложить эти работы с учетом знаков.
2. Найти равнодействующую всех приложенных к телу сил и вычислить работу равнодействующей.

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Чтобы убедиться в этом, вернитесь к предыдущему заданию и ответьте на вопросы задания 2.

2. Чему равна:
а) сумма работ всех действующих на брусок сил?
б) равнодействующая всех действующих на брусок сил?
в) работа равнодействующей? В общем случае (когда сила f_vec направлена под произвольным углом к перемещению s_vec) определение работы силы таково.

Работа A постоянной силы равна произведению модуля силы F на модуль перемещения s и на косинус угла α между направлением силы и направлением перемещения:

A = Fs cos α (4)

3. Покажите, что из общего определения работы следуют к выводы, показанные на следующей схеме. Сформулируйте их словесно и запишите в тетрадь.

4. К находящемуся на столе бруску приложена сила, модуль которой 10 Н. Чему равен угол между этой силой и перемещением бруска, если при перемещении бруска по столу на 60 см эта сила совершила работу: а) 3 Дж; б) –3 Дж; в) –3 Дж; г) –6 Дж? Сделайте пояснительные чертежи.

2. Работа силы тяжести

Пусть тело массой m движется вертикально от начальной высоты h н до конечной высоты h к.

Если тело движется вниз (h н > h к, рис. 28.2, а), направление перемещения совпадает с направлением силы тяжести, поэтому работа силы тяжести положительна. Если же тело движется вверх (h н < h к, рис. 28.2, б), то работа силы тяжести отрицательна.

В обоих случаях работа силы тяжести

A = mg(h н – h к). (5)

Найдем теперь работу силы тяжести при движении под углом к вертикали.

5. Небольшой брусок массой m соскользнул вдоль наклонной плоскости длиной s и высотой h (рис. 28.3). Наклонная плоскость составляет угол α с вертикалью.

а) Чему равен угол между направлением силы тяжести и направлением перемещения бруска? Сделайте пояснительный чертеж.
б) Выразите работу силы тяжести через m, g, s, α.
в) Выразите s через h и α.
г) Выразите работу силы тяжести через m, g, h.
д) Чему равна работа силы тяжести при движении бруска вдоль всей этой же плоскости вверх?

Выполнив это задание, вы убедились, что работа силы тяжести выражается формулой (5) и тогда, когда тело движется под углом к вертикали – как вниз, так и вверх.

Но тогда формула (5) для работы силы тяжести справедлива при движении тела по любой траектории, потому что любую траекторию (рис. 28.4, а) можно представить как совокупность малых «наклонных плоскостей» (рис. 28.4, б).

Таким образом,
работа силы тяжести при движении но любой траектории выражается формулой

A т = mg(h н – h к),

где h н – начальная высота тела, h к – его конечная высота.
Работа силы тяжести не зависит от формы траектории.

Например, работа силы тяжести при перемещении тела из точки A в точку B (рис. 28.5) по траектории 1, 2 или 3 одинакова. Отсюда, в частности, следует, что рибота силы тяжести при перемещении по замкнутой траектории (когда тело возвращается в исходную точку) равна нулю.

6. Шар массой m, висящий на нити длиной l, отклонили на 90º, держа нить натянутой, и отпустили без толчка.
а) Чему равна работа силы тяжести за время, в течение которого шар движется к положению равновесия (рис. 28.6)?
б) Чему равна работа силы упругости нити за то же время?
в) Чему равна работа равнодействующей сил, приложенных к шару, за то же время?

3. Работа силы упругости

Когда пружина возвращается в недеформированное состояние, сила упругости совершает всегда положительную работу: ее направление совпадает с направлением перемещения (рис. 28.7).

Найдем работу силы упругости .
Модуль этой силы связан с модулем деформации x соотношением (см. § 15)

Работу такой силы можно найти графически.

Заметим сначала, что работа постоянной силы численно равна площади прямоугольника под графиком зависимости силы от перемещения (рис. 28.8).

На рисунке 28.9 изображен график зависимости F(x) для силы упругости. Разобьем мысленно все перемещение тела на столь малые промежутки, чтобы на каждом из них силу можно было считать постоянной.

Тогда работа на каждом из этих промежутков численно равна площади фигуры под соответствующим участком графика. Вся же работа равна сумме работ на этих участках.

Следовательно, и в этом случае работа численно равна площади фигуры под графиком зависимости F(x).

7. Используя рисунок 28.10, докажите, что

работа силы упругости при возвращении пружины в недеформированное состояние выражается формулой

A = (kx 2)/2. (7)

8. Используя график на рисунке 28.11, докажите, что при изменении деформации пружины от x н до x к работа силы упругости выражается формулой

Из формулы (8) мы видим, что работа силы упругости зависит только от начальной и конечной деформации пружины, Поэтому если тело сначала деформируют, а потом оно возвращается в начальное состояние, то работа силы упругости равна нулю. Напомним, что таким же свойством обладает и работа силы тяжести.

9. В начальный момент растяжение пружины жесткостью 400 Н/м равно 3 см. Пружину растянули еще на 2 см.
а) Чему равна конечная деформация пружины?
б) Чему равна работа силы упругости пружины?

10. В начальный момент пружина жесткостью 200 Н/м растянута на 2 см, а в конечный момент она сжата на 1 см. Чему равна работа силы упругости пружины?

4. Работа силы трения

Пусть тело скользит по неподвижной опоре. Действующая на тело сила трения скольжения направлена всегда противоположно перемещению и, следовательно, работа силы трения скольжения отрицательно при любом направлении перемещения (рис. 28.12).

Поэтому если сдвинуть брусок вправо, а пегом на такое же расстояние влево, то, хотя он и вернется в начальное положение, суммарная работа силы трения скольжения не будет равна нулю. В этом состоит важнейшее отличие работы силы трения скольжения от работы силы тяжести и силы упругости. Напомним, что работа этих сил при перемещении тела по замкнутой траектории равна нулю.

11. Брусок массой 1 кг передвигали по столу так, что его траекторией оказался квадрат со стороной 50 см.
а) Вернулся ли брусок в начальную точку?
б) Чему равна суммарная работа действовавшей на брусок силы трения? Коэффициент трения между бруском и столом равен 0,3.

5. Мощность

Часто важна не только совершаемая работа, но и скорость совершения работы. Она характеризуется мощностью.

Мощностью P называют отношение совершенной работы A к промежутку времени t, за который эта работа совершена:

(Иногда мощность в механике обозначают буквой N, а в электродинамике – буквой P. Мы считаем более удобным одинаковое обозначение мощности.)

Единица мощности – ватт (обозначают: Вт), названная в честь английского изобретателя Джеймса Уатта. Из формулы (9) следует, что

1 Вт = 1 Дж/c.

12. Какую мощность развивает человек, равномерно поднимая ведро воды массой 10 кг на высоту 1 м в течение 2 с?

Часто мощность удобно выражать не через работу и время, а через силу и скорость.

Рассмотрим случай, когда сила направлена вдоль перемещения. Тогда работа силы A = Fs. Подставляя это выражение в формулу (9) для мощности, получаем:

P = (Fs)/t = F(s/t) = Fv. (10)

13. Автомобиль едет по горизонтальной дороге со скоростью 72 км/ч. При этом его двигатель развивает мощность 20 кВт. Чему равна сила сопротивления движению автомобиля?

Подсказка. Когда автомобиль движется по горизонтальной дороге с постоянной скоростью, сила тяги равна по модулю силе сопротивления движению автомобиля.

14. Сколько времени потребуется для равномерного подъема бетонного блока массой 4 т на высоту 30 м, если мощность двигателя подъемного крана 20 кВт, а КПД электродвигателя подъемного крана равен 75%?

Подсказка. КПД электродвигателя равен отношению работы по подъему груза к работе двигателя.

Дополнительные вопросы и задания

15. Мяч массой 200 г бросили с балкона высотой 10 и под углом 45º к горизонту. Достигнув в полете максимальной высоты 15 м, мяч упал на землю.
а) Чему равна работа силы тяжести при подъеме мяча?
б) Чему равна работа силы тяжести при спуске мяча?
в) Чему равна работа силы тяжести за все время полета мяча?
г) Есть ли в условии лишние данные?

16. Шар массой 0,5 кг подвешен к пружине жесткостью 250 Н/м и находится в равновесии. Шар поднимают так, чтобы пружина стала недеформированной, и отпускают без толчка.
а) На какую высоту подняли шар?
б) Чему равна работа силы тяжести за время, в течение которого шар движется к положению равновесия?
в) Чему равна работа силы упругости за время, в течение которого шар движется к положению равновесия?
г) Чему равна работа равнодействующей всех приложенных к шару сил за время, в течение которого шар движется к положению равновесия?

17. Санки массой 10 кг съезжают без начальной скорости со снежной горы с углом наклона α = 30º и проезжают некоторое расстояние по горизонтальной поверхности (рис. 28.13). Коэффициент трения между санками и снегом 0,1. Длина основания горы l = 15 м.

а) Чему равен модуль силы трения при движении санок по горизонтальной поверхности?
б) Чему равна работа силы трения при движении санок по горизонтальной поверхности на пути 20 м?
в) Чему равен модуль силы трения при движении санок по горе?
г) Чему равна работа силы трения при спуске санок?
д) Чему равна работа силы тяжести при спуске санок?
е) Чему равна работа равнодействующей сил, действующих на санки, при их спуске с горы?

18. Автомобиль массой 1 т движется со скоростью 50 км/ч. Двигатель развивает мощность 10 кВт. Расход бензина составляет 8 л на 100 км. Плотность бензина 750 кг/м 3 , а его удельная теплота сгорания 45 МДж/кг. Чему равен КПД двигателя? Есть ли в условии лишние данные?
Подсказка. КПД теплового двигателя равен отношению совершенной двигателем работы к количеству теплоты, которое выделилось при сгорании топлива.

Работа силы тяжести зависит только от изменения высоты и равна произведению модуля силы тяжести на вертикальное перемещение точки (рис. 15.6):

где Δh - изменение высоты. При опускании работа положительна, при подъеме отрицательна.

Работа равнодействующей силы

Под действием системы сил точка массой т перемещается из положения М 1 в положение М 2 (рис. 15.7).

В случае движения под действием системы сил пользуются тео­ремой о работе равнодействующей.

Работа равнодействующей на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ системы сил на том же перемещении.

Примеры решения задач

Пример 1. Тело массой 200 кг поднимают по наклонной плос­кости (рис. 15.8).

Определите работу при перемеще­нии на 10 м с постоянной скоростью. Коэффициент трения тела о плоскость f = 0,15.

Решение

1. При равномерном подъеме движущая сила равна сумме сил сопро­тивления движению. Наносим на схему силы, действующие на тело:

1. Используем теорему о работе равнодействующей:

1. Подставляем входящие величины и определяем работу по подъему:

Пример 2. Определите работу силы тяжести при перемещении груза из точки А в точку С по наклонной плоскости (рис. 15.9). Сила тяжести тела 1500 Н. АВ = 6 м, ВС = 4 м.

Решение

1. Работа силы тяжести зависит только от изменения вы­соты груза. Изменение высоты при перемещении из точки А в С:

2. Работа силы тяжести:

Пример 3. Определите работу силы резания за 3 мин. Ско­рость вращения детали 120 об/мин, диаметр обрабатываемой детали 40 мм, сила резания 1 кН (рис. 15.10).

Решение

1. Работа при вращательном движе­нии

где F peз - сила резания.

2. Угловая частота вращения 120 об/мин.

3. Число оборотов за заданное время составляет z = 120 3 = 360 об.

Угол поворота за это время

4. Работа за 3 мин Wp = 1 0,02 2261 = 45,2 кДж.

Пример 4. Тело массой m = 50 кг передвигают по полу при помощи горизонтальной силы Q на расстояние S = 6 м. Определить ра­боту, которую совершит сила трения, если коэф­фициент трения между поверхностью тела и полом f = 0,3 (рис. 1.63).

Решение

Согласно закону Аммонтона - Кулона сила трения

Сила трения направлена в сто­рону, противоположную движению, поэтому работа этой силы отрицательна:

Пример 5. Определить натяжение ветвей ремен­ной передачи (рис. 1.65), если мощность, передаваемая валом, N = 20 кВт, частота вращения вала п = 150 об/мин.

Решение

Вращающий момент, передаваемый валом,

Выразим вращающий мо­мент через усилия в ветвях ременной передачи:
откуда

Пример 6. Колесо радиусом R = 0,3м катится без скольжения по горизонтальному рельсу (рис. 1.66). Найти работу трения качения при перемещении центра колеса на расстояние S = 30 м, если вертикальная нагрузка на ось колеса составляет Р = 100 кН. Коэффициент трения качения ко­леса по рельсу равен k = 0,005 см.

Решение

Трение качения воз­никает из-за деформаций колеса и рельса в зоне их контакта. Нор­мальная реакция N смещается вперед по направлению движения и образует с вертикальной силой давления Р на ось колеса пару, плечо которой равно коэффициен­ту трения качения k , а момент

Эта пара стремится повернуть колесо в направлении, противоположном его вращению. Поэтому работа трения качения будет отрицательной и определится как произве­дение постоянного момента трения на угол поворота ко­леса φ , т. е.

Путь, пройденный колесом, можно определить как про­изведение его угла поворота на радиус

Вводя значение φ в выражение работы и подставляя числовые значения, получаем

Контрольные вопросы и задания

1. Какие силы называют движущими?

2. Какие силы называют силами сопротивления?

3. Запишите формулы для определения работы при поступатель­ном и вращательном движениях.

4. Какую силу называют окружной? Что такое вращающий мо­мент?

5. Сформулируйте теорему о работе равнодействующей.

На этом уроке мы рассмотрим различное движение тела под действием силы тяжести и научимся находить работу этой силы. Также введём понятие потенциальной энергии тела, узнаем, как связана эта энергия с работой силы тяжести, выведем формулу, по которой находится эта энергия. С помощью данной формулы решим задачу, взятую из сборника для подготовки к единому государственному экзамену.

На прошлых уроках мы изучили разновидности сил в природе. Для каждой силы необходимо правильно вычислять работу. Данный урок посвящён изучению работы силы тяжести.

При небольших расстояниях от поверхности Земли сила тяжести постоянна и по модулю равна , где m - масса тела, g - ускорение свободного падения.

Пусть тело массой m свободно падает с высоты над каким-либо уровнем, с которого ведётся отсчёт, до высоты над тем же уровнем (см. Рис. 1).

Рис. 1. Свободное падение тела с высоты до высоты

При этом модуль перемещения тела равен разности этих высот:

Так как направление перемещения и силы тяжести совпадают, то работа силы тяжести равна:

Значение высот в этой формуле можно отсчитывать от любого уровня (уровень моря, уровень дна ямы, которая вырыта в земле, поверхность стола, поверхность пола и т. д.). В любом случае высоту данной поверхности выбирают равной нулю, поэтому уровень данной высоты называют нулевым уровнем .

Если тело падает с высоты h до нулевого уровня, то работа силы тяжести будет равна:

Если тело, брошенное вверх с нулевого уровня, достигает высоты hнад этим уровнем, то работа силы тяжести будет равна:

Пусть тело массой m движется по наклонной плоскости высотой h и при этом совершает перемещение , модуль которого равен длине наклонной плоскости (см. Рис. 2).

Рис. 2. Движение тела по наклонной плоскости

Работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения тела, совершённого под действием данной силы, то есть работа сила тяжести в данном случае будет равна:

где - угол между векторами силы тяжести и перемещения.

На рисунке 2 видно, что перемещение () представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, а высота h - катет. Согласно свойству прямоугольного треугольника:

Следовательно

Мы получили выражение для работы силы тяжести такое же, как в случае вертикального движения тела. Можно сделать вывод: если траектория тела не является прямолинейной и тело движется под действием силы тяжести, то работа силы тяжести определяется только изменением высоты тела над некоторым нулевым уровнем и не зависит от траектории движения тела.

Рис. 3. Движение тела по криволинейной траектории

Докажем предыдущее утверждение. Пусть тело движется по некоторой криволинейной траектории (см. Рис. 3). Эту траекторию мысленно разбиваем на ряд малых участков, каждый из которых можно считать маленькой наклонной плоскостью. Движение тела по всей траектории можно представить как движение по множеству наклонных плоскостей. Работа силы тяжести на каждом из участков будет равна произведению силы тяжести на высоту данного участка. Если изменения высот на отдельных участках равны , то работы силы тяжести на них равны:

Полная работа на всей траектории равна сумме работ на отдельных участках:

- полная высота, которую преодолело тело,

Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела и всегда равна произведению силы тяжести на разность высот в исходном и конечном положениях. Что и требовалось доказать.

При движении вниз работа положительна, при движении вверх - отрицательна.

Пусть некоторое тело совершило движение по замкнутой траектории, то есть оно сначала спустилось вниз, а потом по какой-то другой траектории вернулось в исходную точку. Так как тело оказалось в той же самой точке, в которой оно было изначально, то разность высот между начальным и конечным положением тела равна нулю, поэтому и работа силы тяжести будет равна нулю. Следовательно, работа силы тяжести при движении тела по замкнутой траектории равна нулю.

В формуле для работы силы тяжести вынесем (-1) за скобку:

Из прошлых уроков известно, что работа сил, приложенных к телу, равна разности между конечным и начальным значением кинетической энергии тела. В полученной формуле также видна связь между работой силы тяжести и разностью между значениями некоторой физической величины, равной . Такая величина называется потенциальной энергией тела , которое находится на высоте h над некоторым нулевым уровнем.

Изменение потенциальной энергии отрицательно по величине, если совершается положительная работа силы тяжести (видно из формулы ). Если совершается отрицательная работа, то изменение потенциальной энергии будет положительным.

Если тело падает с высоты h на нулевой уровень, то работа силы тяжести будет равна значению потенциальной энергии тела, поднятого на высоту h .

Потенциальная энергия тела , поднятого на некоторую высоту над нулевым уровнем, равна работе, которую совершит сила тяжести при падении данного тела с данной высоты на нулевой уровень.

В отличие от кинетической энергии, которая зависит от скорости тела, потенциальная энергия может быть не равной нулю даже у покоящихся тел.

Рис. 4. Тело, находящееся ниже нулевого уровня

Если тело находится ниже нулевого уровня, то оно обладает отрицательной потенциальной энергией (см. Рис. 4). То есть знак и модуль потенциальной энергии зависят от выбора нулевого уровня. Работа, которая совершается при перемещении тела, от выбора нулевого уровня не зависит.

Термин «потенциальная энергия» применяется только по отношению к системе тел. Во всех вышеприведенных рассуждениях этой системой была «Земля - тело, поднятое над Землёй».

Однородный прямоугольный параллелепипед массой m с рёбрами располагают на горизонтальной плоскости на каждой из трёх граней поочерёдно. Какова потенциальная энергия параллелепипеда в каждом из этих положений?

Дано: m - масса параллелепипеда; - длина рёбер параллелепипеда.

Найти: ; ;

Решение

Если нужно определить потенциальную энергию тела конечных размеров, то можно считать, что вся масса такого тела сосредоточена в одной точке, которая называется центром масс данного тела.

В случае симметричных геометрических тел центр масс совпадает с геометрическим центром, то есть (для данной задачи) с точкой пересечения диагоналей параллелепипеда. Таким образом, необходимо посчитать высоту, на которой расположена данная точка при различных расположениях параллелепипеда (см. Рис. 5).

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Для того чтобы найти потенциальную энергию, необходимо полученные значения высоты умножить на массу параллелепипеда и ускорение свободного падения.

Ответ: ; ;

На данном уроке мы научились вычислять работу силы тяжести. При этом увидели, что, независимо от траектории движении тела, работа силы тяжести определяется разностью между высотами начального и конечного положения тела над некоторым нулевым уровнем. Также мы ввели понятие потенциальной энергии и показали, что работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятой с противоположным знаком. Какую работу надо совершить, чтобы переложить пакет с мукой массой 2 кг с полки, находящейся на высоте 0,5 м относительно пола, на стол, находящийся на высоте 0,75 м относительно пола? Чему равны относительно пола потенциальная энергия пакета с мукой, лежавшего на полке, и его потенциальная энергия тогда, когда он находится на столе?

Работа силы тяжести. Решение задач

Цель урока: определить формулу для работы силы тяжести; определить, что работы силы тяжести не зависит от траектории движения тела; развить практические навыки по решению задач.

Ход урока.

1.Организационный момент. Приветствие учащихся, проверка отсутствующих, постановка цели урока.

2.Проверка домашней работы.

3.Изучение нового материала. На предыдущем уроке мы с вами определили формулу для определения работы. Какой формулой определяется работа постоянной силы? (А= FScosα )

Что такое А и S ?

Теперь же применим эту формулу для силы тяжести. Но для начала вспомним, чему равна сила тяжести? (F = mg )

Рассмотрим случай а) тело падает вертикально вниз. Как мы с вами знаем сила тяжести всегда направленно строго вниз. Для того чтобы определить направление S необходимо вспомнить определение. (Перемещение-это вектор соединяющий начальную и конечную точку. Направлен он от начала к концу)

Т.о. для определения , Так как направление перемещения и силы тяжести совпадают, то α =0 и работа силы тяжести равна:

Рассмотрим случай б) тело двигается вертикально вверх. Т.к. направление силы тяжести и перемещении противоположны, то то α =0 и работа силы тяжести равна .

Т.о. образом если сравнить две формулы по модулю, то они будут одинаковы.

Рассмотрим случай в) тело движется по наклонной плоскости. Работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения тела, совершённого под действием данной силы, то есть работа сила тяжести в данном случае будет равна , где – угол между векторами силы тяжести и перемещения. На рисунке видно, что перемещение () представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника, а высота h – катет. Согласно свойству прямоугольного треугольника:

.Следовательно

Т.о. какой можно сделать вывод? (что работа силы тяжести не зависит от траектории движения.)

Рассмотрим последний пример, когда траектория движения будет замкнутая линия. Кто скажет чему будет равна работа и почему? (А=0, т.к. перемещение равно 0)

Отметим!: работа силы тяжести при движении тела по замкнутой траектории равна нулю.

4. Закрепление материала.

Задача 1. Охотник стреляет со скалы под углом 40° к горизонту. За время падения пули работа силы тяжести составила 5 Дж. Если пуля вошла в землю на расстоянии 250 м от скалы, то какова её масса?

Задача 2. Находясь на Нептуне, тело совершило перемещение так, как показано на рисунке. При этом перемещении работа силы тяжести составила 840 Дж. Если масса данного тела равна 5 кг, то каково ускорение свободного падения на Нептуне?

5. Домашнее задание.